センター試験 数学II・数学B 2018年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 1ラジアンとは、 $\myBox{ア}$ のことである。 $\myBox{ア}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: 半径が $1$ 、面積が $1$ の扇形の中心角の大きさ
 1: 半径が $\pi$ 、面積が $1$ の扇形の中心角の大きさ
 2: 半径が $1$ 、弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ
 3: 半径が $\pi$ 、弧の長さが $1$ の扇形の中心角の大きさ

(2) $144^{\circ}$ を弧度で表すと $\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}\pi$ ラジアンである。また、 $\dfrac{23}{12}\pi$ ラジアンを度で表すと $\myBox{エオカ}^{\circ}$ である。

(3) $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で\[ 2\sin\left( \theta+\frac{\pi}{5}\right) -2\cos\left( \theta+\frac{\pi}{30}\right)=1 \quad \cdots ① \]を満たす $\theta$ の値を求めよう。

 $x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと、①は\[ 2\sin x-2\cos\left( x-\frac{\pi}{\myBox{キ}} \right)=1 \]と表せる。加法定理を用いると、この式は\[ \sin x-\sqrt{\myBox{ク}}\cos x=1 \] となる。さらに、三角関数の合成を用いると\[ \sin\left(x-\frac{\pi}{\myBox{ケ}}\right)=\frac{1}{\myBox{コ}} \]と変形できる。 $x=\theta +\dfrac{\pi}{5}$, $\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$ だから、 $\theta=\dfrac{\myBox{サシ}}{\myBox{スセ}}\pi$ である。

考え方

ラジアンの定義で調子が狂った人が多いと思います。360度と $2\pi$ の関係から考えれば思いつきやすいかもしれません。

(3)は誘導にのって変形していくだけです。使うものが指定されているし、どこが変化しているかもわかりやすいので、計算がきちんとできれば問題はないでしょう。計算量も、それほど多いわけではありません。