なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$座標空間において4点 $\mathrm{ A }(2,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,1,0)$, $\mathrm{ C }(1,0,1)$, $\mathrm{ D }(x,y,z)$ を考える。

(1) 三つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }}$ について
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} -\overrightarrow{\mathrm{ DB }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} = \myBox{ア} \quad \cdots ① \\[5pt]
& & \overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} -\overrightarrow{\mathrm{ DC }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }} = \myBox{イ} \quad \cdots ② \\[5pt]
\end{eqnarray}である。 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $x-y-1$
 1: $y-z-1$
 2: $z-x-1$
 3: $x-y$
 4: $y-z$
 5: $z-x$
 6: $x-y+1$
 7: $y-z+1$
 8: $z-x+1$

解説

各点の座標を利用して、それぞれのベクトルを成分で書くと、
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{ DA }} &=& (2-x, -y, -z) \\[5pt]
& & \overrightarrow{\mathrm{ DB }} &=& (1-x,1-y, -z) \\[5pt]
& & \overrightarrow{\mathrm{ DC }} &=& (1-x, -y,1-z) \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} -\overrightarrow{\mathrm{ DB }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} \\
&=&
\overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{ DA }} -\overrightarrow{\mathrm{ DC }}\right) \\
&=&
\overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ CA }} \\[10pt]
& &
\overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} -\overrightarrow{\mathrm{ DC }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }} \\
&=&
\overrightarrow{\mathrm{ DC }} \cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{ DB }} -\overrightarrow{\mathrm{ DA }}\right) \\
&=&
\overrightarrow{\mathrm{ DC }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ AB }} \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、各点の座標を利用すると
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{ CA }} &=& (1, 0, -1) \\[5pt]
& & \overrightarrow{\mathrm{ AB }} &=& (-1,1, 0) \\[5pt]
\end{eqnarray}と書くことができます。

これらを使って、内積を成分で書いて計算すると
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} -\overrightarrow{\mathrm{ DB }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} \\[5pt]
&=&
\overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ CA }} \\[5pt]
&=&
(1-x,1-y,-z) \cdot (1, 0, -1) \\[5pt]
&=&
(1-x)+(-z)\cdot (-1) \\[5pt]
&=&
z-x+1
\end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} -\overrightarrow{\mathrm{ DC }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }} \\[5pt]
&=&
\overrightarrow{\mathrm{ DC }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ AB }} \\[5pt]
&=&
(1-x, -y,1-z) \cdot (-1,1,0) \\[5pt]
&=&
-(1-x)+(-y) \\[5pt]
&=&
x-y-1
\end{eqnarray}となります。

解答

アイ:80

解答編 つづき

問題

(2) $\mathrm{ AB }=\mathrm{ BC }=\mathrm{ CA }=\sqrt{\myBox{ウ}}$ により、三角形 ABC は正三角形である。

解説

\begin{eqnarray}
\mathrm{ AB }^2
&=&
(2-1)^2+(0-1)^2+0^2 \\
&=&
2 \\
\end{eqnarray}となります。他の辺も一応計算すると
\begin{eqnarray}
\mathrm{ BC }^2
&=&
(1-1)^2+(1-0)^2+(0-1)^2 \\
&=&
2 \\
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
\mathrm{ CA }^2
&=&
(1-2)^2+(0-0)^2+(1-0)^2 \\
&=&
2 \\
\end{eqnarray}となるので、三辺の長さはすべて $\sqrt{2}$ となります。

解答

ウ:2

解答編 つづき

問題

以下、4点 A, B, C, D が正四面体の四つの頂点になるとする。このときの x, y, z の値を求めよう。ただし、 $x\gt 1$ とする。
 ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{ DA }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }}$ の大きさは、いずれも $\sqrt{\myBox{エ}}$ であり、どの二つのベクトルのなす角も $\myBox{オカ}\ ^{\circ}$ である、よって、\[ \overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} = \overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }} = \overrightarrow{\mathrm{ DC }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }} =\myBox{キ} \]となる。このことと①、②および\[ |\overrightarrow{\mathrm{ DA }}| = |\overrightarrow{\mathrm{ DB }}| = |\overrightarrow{\mathrm{ DC }}| =\sqrt{\mybox{エ}} \]により、\[ (x,y,z) = \left(\myBox{ク}, \myBox{ケ}, \myBox{コ}\right) \]となる。

解説

正四面体の辺の長さはどれも等しいため、 $\overrightarrow{\mathrm{ DA }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }}$ の大きさは、いずれも $\sqrt{2}$ です。

また、正四面体の各面は正三角形だから、 $\overrightarrow{\mathrm{ DA }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DB }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }}$ のどの2つのベクトルのなす角も、 $60^{\circ}$ となります。

ベクトルの長さとなす角を用いて内積を計算すると
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{\mathrm{ DA }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DB }} \\[5pt]
&=&
|\overrightarrow{\mathrm{ DA }}| |\overrightarrow{\mathrm{ DB }}| \cos\angle \mathrm{ BAD } \\[5pt]
&=&
\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \cos 60^{\circ} \\[5pt]
&=&
1
\end{eqnarray}となります。他の内積 $\overrightarrow{\mathrm{ DB }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DC }}$, $\overrightarrow{\mathrm{ DC }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ DA }}$ も同様に $1$ だとわかります。

3つの内積が等しいことから、①、②の左辺はともに $0$ であることがわかります。よって、\[ y=x-1, \ z=x-1 \]が成り立ちます。これと DA の長さが $\sqrt{2}$ であることを使うと
\begin{eqnarray}
(x-2)^2+y^2+z^2 &=& 2 \\[5pt]
(x-2)^2+(x-1)^2+(x-1)^2 &=& 2 \\[5pt]
x^2-4x+4 +2x^2-4x+2 &=& 2 \\[5pt]
3x^2-8x+4 &=& 0 \\[5pt]
(3x-2)(x-2) &=& 0 \\[5pt]
x &=& 2,\ \frac{2}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られます。今、 $x\gt 1$ の範囲で考えているので、 $x=2$ となります。これより、 $y=z=1$ も得られます。

解答

エ:2
オカ:60
キ:1
クケコ:211

[広告]

解答編 つづき

問題

(3) $(x,y,z) = \left(\mybox{ク}, \mybox{ケ}, \mybox{コ}\right)$ のときを考える。線分 AB の中点を P、線分 DA を $1:2$ に内分する点を Q、線分 DC を $t:(1-t)\ (0\lt t \lt 1)$ に内分する点を R とする。三角形 PQR の面積 S が最小になるときの t の値を求めよう。

解説

(2)より、\[ (x,y,z)=(2,1,1) \]のときを考えます。

P は線分 AB の中点なので、座標は\[ \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \]となります。

Q は線分 DA を $1:2$ に内分する点なので、座標は\begin{eqnarray}
& &
\left(\frac{1\cdot2+2\cdot2}{3}, \frac{1\cdot0+2\cdot1}{3}, \frac{1\cdot0+2\cdot1}{3}\right) \\[5pt]
&=&
\left(2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)
\end{eqnarray}となります。

R は線分 DC を $t:(1-t)$ に内分する点なので、座標は\begin{eqnarray}
& &
\left(t\cdot1+(1-t)\cdot2, t\cdot0+(1-t)\cdot1, t\cdot1+(1-t)\cdot1\right) \\[5pt]
&=&
\left(2-t, 1-t, 1\right)
\end{eqnarray}となります。

これをもとに、以下の問題を解いていきます。

解答編 つづき

問題

\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 = \frac{\myBox{サシ}}{\myBox{スセ}} \\[5pt]
& & |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 = \myBox{ソ}t^2 -\myBox{タ}t +\frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}} \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ のなす角を $\theta$ とすると、 $S = \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }| |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }| \sin \theta$ なので
\begin{eqnarray}
4S^2
&=&
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \sin^2 \theta \\[5pt]
&=&
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 -|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \cos^2 \theta \\[5pt]
&=&
t^2 -\frac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}t +\frac{\myBox{ナ}}{\myBox{ニヌ}} \\[5pt]
\end{eqnarray}である。よって、 S は $t=\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノハ}}$ のとき最小になる。

解説

先ほどの計算から
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }
&=&
\left(2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) -\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \\[5pt]
&=&
\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right) \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2
&=&
\left(\frac{1}{2}\right)^2 +\left(\frac{1}{6}\right)^2 +\left(\frac{2}{3}\right)^2 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{4} +\frac{1}{36} +\frac{4}{9} \\[5pt]
&=&
\frac{9+1+16}{36} \\[5pt]
&=&
\frac{13}{18} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。

また、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }
&=&
\left(2-t, 1-t, 1\right) -\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \\[5pt]
&=&
\left(\frac{1}{2}-t, \frac{1}{2}-t, 1\right) \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2
&=&
\left(\frac{1}{2}-t\right)^2 +\left(\frac{1}{2}-t\right)^2 +1^2 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{4}-t+t^2 +\frac{1}{4}-t+t^2 +1 \\[5pt]
&=&
2t^2 -2t +\frac{3}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。

さらに、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }| |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }| \cos \theta = \overrightarrow{ \mathrm{ PQ } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ であり、この内積は
\begin{eqnarray}
& &
\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}-t, \frac{1}{2}-t, 1\right) \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-t\right) +\frac{1}{6} \left(\frac{1}{2}-t\right) +\frac{2}{3}\cdot 1 \\[5pt]
&=&
\frac{1}{4}-\frac{t}{2} +\frac{1}{12}-\frac{t}{6} +\frac{2}{3} \\[5pt]
&=&
\frac{-3t-t}{6} +\frac{3+1+8}{12} \\[5pt]
&=&
-\frac{2}{3}t +1 \\[5pt]
\end{eqnarray}であることを使うと
\begin{eqnarray}
4S^2
&=&
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \sin^2 \theta \\[5pt]
&=&
|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 -|\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }|^2 |\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }|^2 \cos^2 \theta \\[5pt]
&=&
\frac{13}{18} \left(2t^2 -2t +\frac{3}{2}\right) -\left(-\frac{2}{3}t +1\right)^2 \\[5pt]
&=&
\frac{13}{9}t^2 -\frac{13}{9}t +\frac{13}{12} -\frac{4}{9}t^2 +\frac{4}{3}t -1 \\[5pt]
&=&
t^2 -\frac{1}{9}t +\frac{1}{12} \\[5pt]
\end{eqnarray}と変形できます。

これを平方完成すると\[ \left(t-\frac{1}{18}\right)^2-\frac{1}{18^2}+\frac{1}{12} \]となり、 $t=\dfrac{1}{18}$ は今考えている $0\lt t \lt 1$ の範囲に含まれているため、 S が最小値をとるのはこのときであることがわかります。

解答

サシスセ:1318
ソタチツ:2232
テトナニヌ:19112
ネノハ:118

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: ベクトル
トピック: 空間ベクトル
レベル: ふつう
キーワード: 三角形の面積, 二次関数, 最大・最小, ベクトル, 空間ベクトル, 内積
更新日:2017/06/10