なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度 第5問 解説

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) 1回の試行において、事象 A の起こる確率が p 、起こらない確率が $1-p$ であるとする。この試行を n 回繰り返すとき、事象 A の起こる回数を W とする。確率変数 W の平均(期待値) m が $\displaystyle \frac{1216}{27}$ 、標準偏差 $\sigma$ が $\displaystyle \frac{152}{27}$ であるとき、 $n=[アイウ]$ 、 $\displaystyle p=\frac{[エ]}{[オカ]}$ である。

(2) (1)の反復試行において、 W が38以上となる確率の近似値を求めよう。
 いま\[ P(W\geqq 38) = P \left(\frac{W-m}{\sigma} \geqq -[キ].[クケ]\right) \]と変形できる。ここで、 $\displaystyle Z=\frac{W-m}{\sigma}$ とおき、 W の分布を正規分布で近似すると、正規分布表から確率の近似値は次のように求められる。\[ P \left(Z\geqq -[キ].[クケ]\right)=0.[コサ] \]

(3) 連続型確率変数 X のとり得る値 x の範囲が $s\leqq x \leqq t$ で、確率密度関数が $f(x)$ のとき、 X の平均 $E(X)$ は次の式で与えられる。\[ E(X)=\int_s^t xf(x) dx \]

 a を正の実数とする。連続型確率変数 X のとり得る値 x の範囲が $-a\leqq x \leqq 2a$ で、確率密度関数が
\begin{eqnarray}
f(x)
=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{2}{3a^2} (x+a) & \quad & (-a\leqq x \leqq 0 のとき) \\[5pt]
\displaystyle \frac{1}{3a^2} (2a-x)& \quad & (0\leqq x \leqq 2a のとき) \\
\end{cases}
\end{eqnarray}であるとする。このとき、 $\displaystyle a\leqq X \leqq \frac{3}{2}a$ となる確率は $\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$ である。

 また、 X の平均は $\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$ である。さらに、 $Y=2X+7$ とおくと、 Y の平均は $\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツ]}+[テ]$ である。

[広告]

考え方

独立試行の平均や分散を答える問題はよくありますが、(1)は逆に平均などから試行回数と確率を求める問題です。公式が頭に入っていれば、連立方程式から求めることができます。

(2)は正規分布で近似して確率を求める問題で、センターではよく出る内容です。正規分布表がどこの確率を表しているかに注意して計算します。

(3)は珍しく連続型の確率変数です。積分の計算が少し難しいです。一番最後は、積分を計算する必要はありません。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 確率分布, 統計的な推測
トピック: 確率分布, 統計的な推測
レベル: ややむずい
キーワード: 期待値, 標準偏差, 分散, 確率, 独立試行, 正規分布
更新日:2017/01/16