センター試験 数学II・数学B 2017年度 第4問 解説

問題編

問題

 座標平面上に点 $\mathrm{ A }(2,0)$ をとり、原点 O を中心とする半径が 2 の円周上に点 B, C, D, E, F を、点 A, B, C, D, E, F が順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、 B は第1象限にあるとする。

(1) 点 B の座標は $([ア],\sqrt{[イ]})$ 、点 D の座標は $(-[ウ],0)$ である。

(2) 線分 BD の中点を M とし、直線 AM と直線 CD の交点を N とする。 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ を求めよう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }$ は実数 r, s を用いて、 $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+r\overrightarrow{ \mathrm{ AM } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ ON } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OD } }+s\overrightarrow{ \mathrm{ DC } }$ と2通りに表すことができる。ここで
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ AM } } &=& \left(-\frac{[エ]}{[オ]}, \frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}\right) \\[5pt] \overrightarrow{ \mathrm{ DC } } &=& \left([ク], \sqrt{[ケ]}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}であるから\[ r=\frac{[コ]}{[サ]}, \ s=\frac{[シ]}{[ス]} \]である。よって\[ \overrightarrow{ \mathrm{ ON } } = \left(-\frac{[セ]}{[ソ]}, \frac{[タ]\sqrt{[チ]}}{[ツ]}\right) \]である。

(3) 線分 BF 上に点 P をとり、その y 座標を a とする。点 P から直線 CE に引いた垂線と、点 C から直線 EP に引いた垂線との交点を H とする。
 $\overrightarrow{ \mathrm{ EP } }$ が\[ \overrightarrow{ \mathrm{ EP } } = ([テ], [ト]+\sqrt{[ナ]}) \]と表せることにより、 H の座標を a を用いて表すと\[ \left(\frac{[ニ]a^{[ヌ]}+[ネ]}{[ノ]}, [ハ]\right) \]である。
 さらに、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }$ のなす角を $\theta$ とする。 $\displaystyle \cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき、 a の値は\[ a=\pm \frac{[ヒ]}{[フヘ]} \]である。

【広告】

考え方

各点の座標がきれいに求められるので、成分を使ってベクトルを考えていきます。(2)のように、2通りに表してベクトルを求める方法はよく出題されます。

後半は内積を用いた計算です。計算は少し煩雑ですが、最終的には計算しやすい式が出てくるので、根気よく計算しましょう。