センター試験 数学II・数学B 2017年度 第3問 解説

問題編

問題

 以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。

(1) 等比数列 $\{s_n\}$ の初項が $1$, 公比が $2$ であるとき\[ s_1s_2s_3=[ア], s_1+s_2+s_3=[イ] \]である。

(2) $\{s_n\}$ を初項 x, 公比 r の等比数列とする。 a, b を実数(ただし $a\ne 0$ )とし、 $\{s_n\}$ の最初の3項が
\begin{eqnarray}
& & s_1s_2s_3 = a^3 \quad \cdots ① \\
& & s_1+s_2+s_3 = b \quad \cdots ② \\
\end{eqnarray}を満たすとする。このとき
\begin{eqnarray}
xr=[ウ] \quad \cdots ③ \\
\end{eqnarray}である。さらに、②, ③を用いて r, a, b の満たす関係式を求めると
\begin{eqnarray}
[エ]r^2+([オ]-[カ])r+[キ]=0 \quad \cdots ④ \\
\end{eqnarray}を得る。④を満たす実数 r が存在するので
\begin{eqnarray}
[ク]a^2+[ケ]ab-b^2 \leqq 0 \quad \cdots ⑤ \\
\end{eqnarray}である。
 逆に、 a, b が⑤を満たすとき、③, ④を用いて r, x の値を求めることができる。

(3) $a=64$, $b=336$ のとき、(2)の条件①, ②を満たし、公比が $1$ より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③, ④を用いて $\{s_n\}$ の公比 r と初項 x を求めると、 $r=[コ]$, $x=[サシ]$ である。
 $\{s_n\}$ を用いて、数列 $\{t_n\}$ を\[ t_n=s_n\log_{[コ]} s_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \]と定める。このとき、 $\{t_n\}$ の一般項は $t_n=(n+[ス])\cdot [コ]^{n+[セ]}$ である。 $\{t_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $U_n$ は、 $U_n-[コ]U_n$ を計算することにより\[ U_n=\frac{[ソ]n+[タ]}{[チ]} \cdot [コ]^{n+[ツ]} -\frac{[テト]}{[ナ]} \]であることがわかる。

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考え方

(1)はサービス問題です。(2)は数列を使った計算問題です。一般項で書き直して式変形を繰り返していく問題で、あまり数列の問題っぽさはありません。

(3)は、見た目で戦意を喪失させてきます。 $\log$ が出てきてめんどくさそうですが、きれいな「等比×等差」の式が出てきます。最後はこの和を計算する問題です。計算は面倒ですが、手順はオーソドックスです。見た目ほど怖くはありません。