なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度 第2問 解説

問題編

問題

 O を原点とする座標平面上の放物線 $y=x^2+1$ を C とし、点 $(a,2a)$ を P とする。

(1) 点 P を通り、放物線 C に接する直線の方程式を求めよう。
 C 上の点 $(t,t^2+1)$ における接線の方程式は\[ y=[ア]tx-t^2+[イ] \]である。この直線が P を通るとすると、 t は方程式\[ t^2-[ウ]at+[エ]a-[オ]=0 \]をみたすから、 $t=[カ]a-[キ],[ク]$ である。よって、 $a\ne[ケ]$ のとき、 P を通る C の接線は2本あり、それらの方程式は\[ y=([コ]a-[サ])x-[シ]a^2+[ス]a \quad \cdots ① \]と\[ y=[セ]x \]である。

(2) (1)の方程式①で表される直線を l とする。 ly 軸との交点を $\mathrm{ R }(0,r)$ とすると、 $r=-[シ]a^2+[ス]a$ である。 $r\gt 0$ となるのは、 $[ソ]\lt a \lt [タ]$ のときであり、このとき、三角形 OPR の面積 S は\[ S=[チ](a^{[ツ]}-a^{[テ]}) \]となる。

 $[ソ]\lt a \lt [タ]$ のとき、 S の増減を調べると、 S は $\displaystyle a=\frac{[ト]}{[ナ]}$ で最大値 $\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌネ]}$ をとることがわかる。

(3) $[ソ]\lt a \lt [タ]$ のとき、放物線 C と(2)の直線 l および2直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた図形の面積を T とすると\[ T=\frac{[ノ]}{[ハ]}a^3 -[ヒ]a^2+[フ] \]である。 $\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]} \leqq a \lt [タ]$ の範囲において、 T は[ヘ]。[ヘ]に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

0: 減少する
1: 極小値をとるが、極大値はとらない
2: 増加する
3: 極大値をとるが、極小値はとらない
4: 一定である
5: 極小値と極大値の両方をとる

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考え方

注目する関数がよく変わりますが、複雑さは例年並みです。図形的なひらめきもほとんど不要で、三角形の面積の箇所くらいです。最後は変わった形式ですが、微分して考えれば問題ないでしょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 微分と積分の基礎
トピック: 微分(文系), 積分(文系)
レベル: ふつう
キーワード: 積分, 増減表, 微分
更新日:2017/01/19