なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度 第1問 [2] 解説

問題編

問題

 座標平面上に点 $\displaystyle \mathrm{ A }\left(0, \frac{3}{2}\right)$ をとり、関数 $y=\log_2 x$ のグラフ上に2点 $\mathrm{ B }(p, \log_2 p)$, $\mathrm{ C }(q, \log_2 q)$ をとる。線分 AB を $1:2$ に内分する点が C であるとき、 p, q の値を求めよう。

 真数の条件により、 $p\gt[タ]$, $q\gt[タ]$ である。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。

 線分 AB を $1:2$ に内分する点の座標は、 p を用いて\[ \left( \frac{[チ]}{[ツ]}p, \frac{[テ]}{[ト]}\log_2 p +[ナ] \right) \]と表される。これが C の座標と一致するので
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}p = q & \quad & \cdots ④ \\[5pt]
\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}\log_2 p +[ナ] = \log_2 q & \quad & \cdots ⑤ \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}が成り立つ。

 ⑤は\[ p=\frac{[ニ]}{[ヌ]} q^{[ネ]} \quad \cdots ⑥ \]と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて、 $p\gt[タ]$, $q\gt[タ]$ に注意すると\[ p=[ノ]\sqrt{[ハ]},\ q=[ヒ]\sqrt{[フ]} \]である。

 また、 Cy 座標 $\log_2([ヒ]\sqrt{[フ]})$ の値を、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると、[ヘ]である。[ヘ]に当てはまるものを、下の 0 ~ b のうちから一つ選べ。ただし、 $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$, $\log_{10}7=0.8451$ とする。

 0: 0.3
 1: 0.6
 2: 0.9
 3: 1.3
 4: 1.6
 5: 1.9
 6: 2.3
 7: 2.6
 8: 2.9
 9: 3.3
 a: 3.6
 b: 3.9

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考え方

見た目は大変そうですが、それほど計算は大変ではありません。誘導も丁寧です。

一番最後の問題は、与えられた数値が使えるように底の変換公式を用いて変形していきます。小数の計算は面倒ですが、選択肢から近いものを選ぶだけなら、概算でも問題ありません。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 指数関数と対数関数
トピック: 対数関数
レベル: ふつう
キーワード: 真数条件, 自然対数, 対数関数, 底の変換公式
更新日:2017/01/16