センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第3問 解説

問題編

問題

(1) 座標平面上で、 x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点という。
 k を自然数とする。座標平面上で、三つの不等式\[ y\geqq 0, \quad y\leqq 3x, \quad y\leqq -3x+12k \]によって表される領域を D とする。領域 D に含まれる格子点の個数を求めよう。
 領域 D は3点 $(0,0)$, $([ア]k,[イ]k)$, $([ウ]k,0)$ を頂点とする三角形の周および内部である。

 $k=1$ のとき、 D に含まれる格子点の個数は[エオ]個である。

 一般に、自然数 k に対し、 D に含まれる格子点の個数 pk を用いて表そう。整数 j が $0\leqq j \leqq [ア]k$ を満たすとき、 D に含まれる格子点で x 座標が j である点は $([カ]j+[キ])$ 個ある。したがって、 D に含まれる格子点で x 座標が $0$ 以上 $[ア]k$ 以下である点の個数 qk を用いて表すと\[ q=[ク]k^2+[ケ]k+[コ] \]である。
 さらに、 D に含まれる格子点で x 座標が $([ア]k+1)$ 以上 $[ウ]k$ 以下である点の個数を求めて q に加えれば p が求まり\[ p=[サシ]k^2+[ス]+[セ] \]である。

(2) n を自然数とする。四つの不等式\[ y\geqq 0, \quad y\leqq 3x, \quad y\leqq -3x+12z, \quad 1\leqq z\leqq 2n \]を満たす整数の組 $(x,y,z)$ の個数 r を求めよう。

 $n=1$ のとき、 $1\leqq z\leqq 2$ であるから、(1)により $r=[ソタ]$ である。

 一般に、自然数 n に対し、 rn を用いて表すと\[ r=[チツ]n^3+[テト]n^2+[ナニ]n \]である。

考え方

格子点の数を数える、という問題です。順を追って求めていくうえ、 $k=1$ のときを求める設問もあり、誘導は丁寧です。計算量も、数列にしては標準的でしょう。ところどころ計算間違いをしやすいポイントはありますが、 $k=1$ のときに成り立つかを確認しながら解けば、大丈夫でしょう。

ただ、(2)は何をやっているか少しわかりづらいかもしれません。ここでやっているのは、整数の組に z が入っているので、 z の値ごとに格子点の数を足していく、ということです。

格子点は入試問題でもよく出題されますが、センターでこんなにがっつり出るのは珍しいですね。