センター試験 数学II・数学B 2016年度追試 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 $x\gt 1$, $y\gt 0$ の範囲にある x, y が\[ (2y)^{\log_4 x} =16 \quad \cdots ① \]を満たすとき、 $A=x\sqrt{y}$ の最小値を求めよう。

 $s=\log_2 x$, $t=\log_2 y$ とおく。 x が $x\gt 1$ の範囲にあるとき、 s のとり得る値の範囲は $s \gt [ア]$ である。また、 $\log_2 A$ を st を用いて表すと\[ \log_2 A = s+\frac{t}{[イ]} \quad \cdots ② \]である。

 底の変換公式により\[ \log_4 x=[ウ]s \quad \cdots ③ \]が成り立つ。[ウ] に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。
 0: $\displaystyle -\frac{1}{4}$, 1: $\displaystyle -\frac{1}{2}$, 2: $-2$, 3: $-4$,
 4: $\displaystyle \frac{1}{4}$, 5: $\displaystyle \frac{1}{2}$, 6: $2$, 7: $4$

 ①の両辺の $2$ を底とする対数をとると、③により\[ s(t+[エ])=[オ] \quad \cdots ④ \]が成り立つ。②, ④により、 $\log_2 A$ を s を用いて表すと\[ \log_2 A = s +\frac{[カ]}{s} -\frac{[キ]}{[ク]} \]となる。
 $s\gt [ア]$ であることに注意すると、 $\log_2 A$ は $s=[ケ]$ のとき最小値をとることがわかる。

 したがって、 A は $x=[コ]$, $y=[サ]$ のとき、最小値 $[シ]\sqrt{[ス]}$ をとる。

考え方

少しごちゃごちゃしていますが、誘導が丁寧なので落ち着いて計算していけば問題ないでしょう。対数の計算、底の変換公式など、基本的な計算がメインです。終盤は、相加相乗平均の関係を使いましょう。