なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2016年度 第5問 解説

問題編

(注:正規分布表は省略しています)

【問題】
nを自然数とする。原点Oから出発して数直線上をn回移動する点Aを考える。点Aは、1回ごとに確率pで正の向きに3だけ移動し、確率$1-p$で負の向きに1だけ移動する。ここで、$0\lt p \lt 1$である。n回移動した後の点Aの座標をXとし、n回の移動のうち正の向きの移動の回数をYとする。

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) $p=\frac{1}{3}$、$n=2$のとき、確率変数Xのとり得る値は、小さい順に、-[ア]、[イ]、[ウ]であり、これらの値をとる確率は、それぞれ$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}、\frac{[カ]}{[オ]}、\frac{[キ]}{[オ]}$である。

(2)
n回移動したとき、XYの間に\[ X=[ク]n+[ケ]Y \]の関係が成り立つ。

確率変数Yの平均(期待値)は、[コ]、分散は[サ]なので、Xの平均は[シ]、分散は[ス]である。[コ]~[ス]に当てはまるものを、次の0~bのうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

0: np、 1: $np(1-p)$、 2: $\frac{p(1-p)}{n}$、
3: $2np$、 4: $2np(1-p)$、 5: $p(1-p)$、
6: $4np$、 7: $4np(1-p)$、 8: $16np(1-p)$、
9: $4np-n$、 a: $4np(1-p)-n$、 b: $16np(1-p)-n$

(3)
$p=\frac{1}{4}$のとき、1200回移動した後の点Aの座標Xが120以上になる確率の近似値を求めよう。

(2)により、Yの平均は[セソタ]、標準偏差は[チツ]であり、求める確率は次のようになる。
\[
P(X\geqq 120) = P\left( \frac{Y-[セソタ]}{[チツ]} \geqq [テ].[トナ] \right)
\]

いま、標準正規分布に従う確率変数をZとすると、$n=1200$は十分に大きいので、求める確率の近似値は正規分布表から次のように求められる。
\[
P\left( Z \geqq [テ].[トナ] \right) = 0.[ニヌネ]
\]

(4)
pの値がわからないとする。2400回移動した後の点Aの座標が$X=1440$のとき、pに対する信頼度95%の信頼区間を求めよう。

n回移動したときにYがとる値をyとし、$\displaystyle r=\frac{y}{n}$とおくと、nが十分に大きいならば、確率変数$\displaystyle R=\frac{Y}{n}$は近似的に平均p、分散$\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}$の正規分布に従う。

$n=2400$は十分に大きいので、このことを利用し、分散を$\displaystyle \frac{r(1-r)}{n}$で置き換えることにより、求める信頼区間は
\[ 0.[ノハヒ] \leqq p \leqq 0.[フヘホ] \]となる。

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【考え方】
(1)は状況をきちんと把握すれば問題ないでしょう。(2)は独立反復試行の確率であり、これも標準的な問題です。

(3)は正規分布を使った近似、(4)は推定です。正規分布表の見方や信頼区間については、教科書の内容を把握していれば、誘導に沿って解くのは難しくはないです。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2016年度
分野: 確率分布, 統計的な推測
トピック: 確率分布, 統計的な推測
レベル: ふつう
キーワード: 平均, 分散, 信頼区間, 独立試行, 推定, 正規分布
更新日:2016/12/10