センター試験 数学II・数学B 2016年度 第4問 解説

問題編

【問題】
四面体OABCにおいて、$\lvert\overrightarrow{ \mathrm{OA} }\rvert=3$、$|\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|=|\overrightarrow{ \mathrm{OC} }|=2$、$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=60^{\circ}$であるとする。また、辺OA上に点Pをとり、辺BC上に点Qをとる。以下、$\overrightarrow{ \mathrm{OA} }=\vec{ a }$、$\overrightarrow{ \mathrm{OB} }=\vec{ b }$、$\overrightarrow{ \mathrm{OC} }=\vec{ c }$とおく。

(1)
$0 \leqq s \leqq 1$、$0 \leqq t \leqq 1$であるような実数s、tを用いて、$\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s\vec{a}$、$\overrightarrow{ \mathrm{OQ} }=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$と表す。$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c}=[ア]$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=[イ]$であることから
\[
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2
=
([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ] \]となる。したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$が最小となるのは、$\displaystyle s=\frac{[ク]}{[ケ]}$、$t=\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$のときであり、このとき$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\sqrt{[シ]}$となる。

(2)
三角形ABCの重心をGとする。$|\overrightarrow{ \mathrm{PQ} }|=\sqrt{[シ]}$のとき、三角形GPQの面積を求めよう。

$\overrightarrow{ \mathrm{OA} } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } = [ス]$から、$\angle\mathrm{APQ}=[セソ]^{\circ}$である。したがって、三角形APQの面積は$\sqrt{[タ]}$である。また\[
\overrightarrow{ \mathrm{OG} } = \frac{[チ]}{[ツ]}\overrightarrow{ \mathrm{OA} } + \frac{[テ]}{[ト]}\overrightarrow{ \mathrm{OQ} }
\]であり、点Gは線分AQを$[ナ]:1$に内分する点である。

以上のことから、三角形GPQの面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ニ]}}{[ヌ]}$である。

【広告】

【考え方】
空間におけるベクトルです。3次元だと図を描くのが大変ですが、(1)は特に図を描かなくても解けます。計算はごちゃごちゃしやすいですが、難しくはありません。誘導に従って解けば、最後まで行けるでしょう。

(2)はさすがに図を描かないと厳しいです。ベクトルの式から、PQがどういう点であるかを把握することが重要です。最後の三角形の面積を求めるところは、辺の長さの比で出すことができます。

空間ベクトルにしては解きやすい問題です。