なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5}, \cdots
\]を$\{a_n\}$とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1)
$\displaystyle a_{15}=\frac{[ア]}{[イ]}$である。また、分母に初めて8が現れる項は、$a_{[ウエ]}$である。

(2)
kを2以上の自然数とする。数列$\{a_n\}$において、$\displaystyle \frac{1}{k}$がはじめて現れる項を第$M_k$項とし、$\displaystyle \frac{k-1}{k}$が初めて現れる項を第$N_k$項とすると
\begin{eqnarray}
M_k
&=&
\frac{[オ]}{[カ]}k^2 – \frac{[キ]}{[ク]}k + [ケ]
\\[5pt]
N_k
&=&
\frac{[コ]}{[サ]}k^2 – \frac{[シ]}{[ス]}k
\end{eqnarray}である。よって、$\displaystyle a_{104}=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である。

(3)
k2以上の自然数とする。数列$\{a_n\}$の第$M_k$項から第$N_k$項までの和は、$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}k-\frac{[ト]}{[ナ]}$である。したがって、数列$\{a_n\}$の初項から第$N_k$項までの和は\[\frac{[ニ]}{[ヌ]}k^2-\frac{[ネ]}{[ノ]}k\]である。よって\[\sum_{n=1}^{103} a_n = \frac{[ハヒフ]}{[ヘホ]}\]である。

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【考え方】
群数列ですね。これはよく練習しておかないと解けません。

(1)は、これくらいであれば書き出した方が早いです。どういう数列なのかを把握する意味も込めて、書き出してみましょう。

(2)から少しハードルが上がります。「分母が同じ分数がいくつあるか」を考えましょう。 $M_k$ と $N_k$ の2つを求めないといけませんが、片方が求まればそれを利用してもう片方も出します。また、間違いを防ぐために、検算も行いましょう。

(3)は和の公式を使って解きます。最後の和は、「キリのいいところまで足して不要な項を引く」という出し方が楽です。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2016年度
分野: 数列
トピック: 数列
レベル: ややむずい
キーワード: 真分数, 群数列, 和の公式
更新日:2016/11/15