なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2016年度 第1問 [2] 解説

問題編

【問題】
kを正の定数として
\[
\cos^2 x -\sin^2 x + k \left( \frac{1}{\cos^2 x} – \frac{1}{\sin^2 x} \right) = 0 \quad \cdots ①
\]を満たすxについて考える。

(1)
$\displaystyle 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たすxの個数について考えよう。

①の両辺に$\sin^2x\cos^2x$をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると
\[
\left( \frac{\sin^2 2x}{[チ]} – k \right) \cos 2x=0 \quad \cdots ②
\]を得る。したがって、kの値に関係なく、$\displaystyle x=\frac{\pi}{[ツ]}$のときはつねに①が成り立つ。また、$0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$の範囲で$0\lt \sin^2 2x \leqq 1$であるから、$\displaystyle k \gt \frac{[テ]}{[ト]}$のとき、①を満たすxは$\displaystyle \frac{\pi}{[ツ]}$のみである。一方、$\displaystyle 0\lt k \lt \frac{[テ]}{[ト]}$のとき、①を満たすxの個数は[ナ]個であり、$\displaystyle k=\frac{[テ]}{[ト]}$のときは[ニ]個である。

(2)
$\displaystyle k=\frac{4}{25}$ とし、$\displaystyle \frac{\pi}{4} \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たすxについて考えよう。

②により $\displaystyle \sin 2x = \frac{[ヌ]}{[ネ]}$ であるから
\[
\cos 2x = \frac{[ノハ]}{[ヒ]}
\]である。したがって
\[
\cos x = \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]}
\]である。

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【考え方】
(1)の前半で、倍角の公式を逆に使うところはノーヒントだと難しいかもしれませんが、「倍角の公式を使う」と書いてあるので問題ないでしょう。$\sin 2x$も$\cos 2x$もあるので、どちらも使う必要があります。

解の個数は、重解に気を付ける必要があります。前半の変形さえできれば、それほど難しくはないでしょう。

(2)も(1)ができれば迷うところはなさそうです。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2016年度
分野: 三角関数
トピック: 三角関数
レベル: ふつう
キーワード: 解の個数, 倍角の公式
更新日:2016/11/15