なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2016年度 第1問 [1] 解説

問題編

【問題】
(1)
$8^{\frac{5}{6}}=[ア]\sqrt{[イ]}$ 、 $\displaystyle \log_{27}\frac{1}{9}=\frac{[ウエ]}{[オ]}$ である。

(2)
$y=2^x$ のグラフと $\displaystyle y=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x$ のグラフは[カ]である。
$y=2^x$ のグラフと $y=\log_2 x$ のグラフは[キ]である。
$y=\log_2 x$ のグラフと $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフは[ク]である。
$y=\log_2 x$ のグラフと $y=\log_2 \frac{1}{x}$ のグラフは[ケ]である。

[カ]~[ケ]に当てはまるものを、次の0~3のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

0: 同一のもの
1: x軸に関して対象
2: y軸に関して対象
3: 直線 $y=x$ に関して対象

(3)
$x\gt 0$ の範囲における関数 $\displaystyle y=\left(\log_2\frac{x}{4} \right)^2-4\log_4 x +3$ の最小値を求めよう。

$t=\log_2 x$ とおく。このとき、 $y=t^2-[コ]t+[サ]$ である。また、xが $x\gt 0$ の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲は[シ]である。[シ]に当てはまるものを、次の0~3のうちから一つ選べ。

0: $t \gt 0$、 1: $t \gt 1$、 2: $t \gt 0$ かつ $t\ne 1$、 3: 実数全体

したがって、yは $t=[ス]$ のとき、すなわち $x=[セ]$ のとき、最小値[ソタ]をとる。

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【考え方】
(2)は、軸や直線に関して対称かどうかを判断する問題です。2つのグラフが軸や直線に関して対称というのは、片方の式の文字を入れ替えたり符号を変えたりしたときにもう片方の式になるかどうか、で判断します。このことと、底の変換公式を使って考えていきます。少し変わった問題ですね。

(3)は、 $\log$ を変数tで置き換えて、tの式として考える問題ですね。このように別の文字に置き換えたときには、tの定義域に気をつけないといけません。が、この場合、定義域は実数全体になるので、特に気を付けることはありません。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2016年度
分野: 指数関数と対数関数
トピック: 指数関数, 対数関数
レベル: ふつう
キーワード: 対称な位置, 最大・最小, 底の変換公式
更新日:2016/11/15