なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2015年度 第5問 解説

問題編

(正規分布表は省略しています)

【問題】
 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
 また、小数の形で解答する場合、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入し、解答せよ。途中で割り切れた場合、指定された桁まで0にマークすること。

(1) 袋の中に白球が4個、赤球が3個入っている。この袋の中から同時に3個の球を取り出すとき、白球の個数をWとする。確率変数Wについて
\begin{eqnarray}
& & P(W=0)=\frac{[ア]}{[イウ]}, \quad P(W=1)=\frac{[エオ]}{[イウ]} \\[5pt]
& & P(W=2)=\frac{[カキ]}{[イウ]}, \quad P(W=3)=\frac{[ク]}{[イウ]}
\end{eqnarray}であり、期待値(平均)は、$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$、分散は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である。

(2) 確率変数Zが正規分布に従うとき\[ P(-[タ]\leqq Z \leqq [タ]) =0.99 \]が成り立つ。[タ]に当てはまる最も適切なものを、次の0~3のうちから一つ選べ。

 0: 1.64、 1: 1.96、 2: 2.33、 3: 2.58

(3) 母標準偏差$\sigma$の母集団から、大きさnの無作為標本を抽出する。ただし、nは十分に大きいとする。この標本から得られる母平均mの信頼度(信頼係数)95%の信頼区間を$A\leqq m \leqq B$とし、この信頼区間の幅$L_1$を$L_1=B-A$で定める。

 この標本から得られる信頼度99%の信頼区間を$C\leqq m \leqq D$とし、この信頼区間の幅$L_2$を$L_2=D-C$で定めると\[ \frac{L_2}{L_1}=[チ].[ツ] \]が成り立つ。また、同じ母集団から、大きさ$4n$の無作為標本を抽出して得られる母平均mの信頼度95%の信頼区間を$E\leqq m \leqq F$とし、この信頼区間の幅$L_3$を$L_3=F-E$で定める。このとき\[ \frac{L_3}{L_1}=[テ].[ト] \]が成り立つ。

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【考え方】
(1)は場合の数を考えるだけですね。期待値・分散も定義通りに計算します。定義がわかっていれば難しい計算ではありません。

(2)は、正規分布表を見て答える問題です。(3)は、信頼区間の幅が何で決まるかを理解しているか問う問題です。後半は、信頼区間が「標本数の$-\frac{1}{2}$乗」に比例することを利用して計算します。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2015年度
分野: 確率分布, 統計的な推測
トピック: 確率分布, 統計的な推測
レベル: ふつう
キーワード: 期待値, 分散, 球を取り出す, 信頼区間, 正規分布
更新日:2016/11/15