センター試験 数学II・数学B 2015年度 第1問 [2] 解説

問題編

【問題】
a,bを正の実数とする。連立方程式
\begin{eqnarray}
(\ast)
\left\{
\begin{array}{l}
x\sqrt{y^3} &=& a \\
\sqrt[3]{x} y &=& b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式$(\ast)$を満たす正の実数x,yは\[ x=a^{[ス]}b^{[セソ]}, \quad y=a^p b^{[タ]} \]となる。ただし\[ p=\frac{[チツ]}{[テ]} \]である。

(2) $b=2\sqrt[3]{a^4}$とする。aが$a\gt 0$の範囲を動くとき、連立方程式$(\ast)$を満たす正の実数x,yについて、$x+y$の最小値を求めよう。

 $b=2 \sqrt[3]{a^4}$であるから、$(\ast)$を満たす正の実数x,yは、aを用いて\[ x=2^{[セソ]}a^{[トナ]}, \quad y=2^{[タ]}a^{[ニ]} \]と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、$x+y$は$a=2^q$のとき最小値$\sqrt{[ヌ]}$をとることがわかる。ただし\[ q=\frac{[ネノ]}{[ハ]} \]である。

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【考え方】
(1)は両辺の$\log$をとってから計算してもいいですし、両辺を何乗かして直接計算することもできます。

(2)の前半は指数関数の計算です。後半は「相加相乗を使う」と書いてあるので、その通り変形していけば答えが得られます。