なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2015年度 第1問 [1] 解説

問題編

【問題】
Oを原点とする座標平面上の2点$\mathrm{ P }(2\cos \theta, 2\sin \theta)$、$\mathrm{ Q }(2\cos \theta +\cos 7\theta, 2\sin \theta +\sin 7\theta)$を考える。ただし、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする。

(1) $\mathrm{ OP }=[ア]$、$\mathrm{ PQ }=[イ]$である。また
\begin{eqnarray}
\mathrm{ OQ }^2
&=& [ウ] + [エ](\cos 7\theta \cos \theta + \sin 7\theta \sin \theta) \\
&=& [ウ] + [エ] \cos( [オ]\theta)
\end{eqnarray}である。

 よって、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、OQは$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{[カ]}$のとき最大値$\sqrt{[キ]}$をとる。

(2) 3点OPQが一直線上にあるような$\theta$の値を求めよう。
 直線OPを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の0~3のうちから一つ選べ。

0: $(\cos \theta)x+(\sin \theta)y = 0$
1: $(\sin \theta)x+(\cos \theta)y = 0$
2: $(\cos \theta)x-(\sin \theta)y = 0$
3: $(\sin \theta)x-(\cos \theta)y = 0$

 このことにより、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、3点OPQが一直線上にあるのは$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{[ケ]}$のときであることがわかる。

(3) $\angle \mathrm{ OQP }$が直角となるのは$\mathrm{ OQ }=\sqrt{[コ]}$のときである。したがって、$\displaystyle \frac{\pi}{8} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で、$\angle \mathrm{ OQP }$が直角となるのは$\displaystyle \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi$のときである。

[広告]

【考え方】
$7\theta$にびっくりしてしまいますが、(1)の途中から$6\theta$に変わり、扱いやすくなるので安心してください。

(2)もあまり見ない式の形ですが、直線の傾きを考えればどれが正しいかを選ぶのはそんなに難しくありません。

(3)は、三平方の定理を使います。各辺の長さはすでに求めてあるので出すのは簡単ですね。

この問題では、加法定理を逆に使って変形する場面がいくつかあります。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2015年度
分野: 三角関数
トピック: 三角関数
レベル: ふつう
キーワード: 最大・最小, 三平方の定理, 加法定理, 三角関数
更新日:2016/11/15