なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$平面上に、1辺の長さが $1$ の正方形 ABCD と、その外側に三角形 OAB があり、 $\displaystyle \mathrm{ OA }=\mathrm{ OB }=\frac{\sqrt{5}}{2}$ とする。 $0\lt t \lt 1$ とし、線分 OA, AD, CB を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ P, Q, R とする。以下では、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } } = \vec{b}$ とおく。

(1) $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = \myBox{ア}$ により、 $\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}$ である。また、 $\vec{a}+\vec{b}$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ AD } }$ は平行であり、 $|\vec{a}+\vec{b}| = \myBox{エ}$ により、 $\displaystyle \overrightarrow{ \mathrm{ AD } }=\frac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}} (\vec{a}+\vec{b})$ である。

 次に、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ を t と $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表すと
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{ \mathrm{ PQ } } = \frac{\myBox{キ}-t}{\myBox{ク}} \vec{a} +\frac{t}{\mybox{ク}}\vec{b} \quad & \cdots ① \\[5pt]
& & \overrightarrow{ \mathrm{ PR } } = \frac{1-\myBox{ケ}t}{\mybox{ク}} \vec{a} +\frac{\myBox{コ}-t}{\mybox{ク}}\vec{b} \quad & \cdots ② \\[5pt]
\end{eqnarray}である。

(2) $0\lt t \lt 1$ の範囲において、三角形 PQR の面積 S の最小値を求めよう。点 P から線分 CD に引いた垂線と線分 QR の交点を T とする。三角形 PTQ と三角形 PTR の面積の和は S に等しいから、 $\displaystyle S=\frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\mathrm{ PT }$ である。これにより、 PT が最小になるときを考えればよいことがわかる。

 まず、 $\mathrm{ QT }:\mathrm{ TR } = (1-t):\myBox{ス}$ であるから\[ \overrightarrow{ \mathrm{ PT } } = \myBox{セ}\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } } +\myBox{ソ}\overrightarrow{ \mathrm{ PR } } \quad \cdots ③ \]である。 $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$, $\myBox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $t$
 1: $(1-t)$
 2: $(1+t)$
 3: $(1+2t)$
 4: $\frac{t}{2}$
 5: $\frac{1-t}{2}$
 6: $\frac{1+t}{2}$
 7: $\frac{1+2t}{2}$

したがって、①, ②, ③により\[ \overrightarrow{ \mathrm{ PT } } = \left(\frac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}} t^2 -\frac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}} t +\frac{3}{4}\right) (\vec{a}+\vec{b}) \]となる。よって、 $\displaystyle t=\frac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ のとき、 PT は最小となり、三角形 PQR の面積 S の最小値は $\displaystyle \frac{\myBox{ニヌ}}{\myBox{ネノ}}$ である。

考え方

図を正しく描いて考えれば難しくはないでしょう。

(1)の前半は、線分の長さや内積をからめた問題です。エは内積を使っても出せますし、長さを直接求めて出すこともできます。後半は、それぞれのベクトルを分解して考えていきましょう。

(2)の前半は、図をかいて考えましょう。後半は計算がメインですが、計算量はそれほど多くありません。最小値は平方完成をするか、微分をして求めましょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: ベクトル
トピック: 平面ベクトル
レベル: ふつう
キーワード: 三角形の面積, 垂線, 最大・最小, 内分点, ベクトル, 内積
更新日:2017/02/06