センター試験 数学II・数学B 2014年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$不等式\[ 4\left\{ \log_2(3-\sqrt{x}) \right\}^2 +3\log_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x})^2 -2 \gt 0 \quad \cdots ① \]を満たす x のとり得る値の範囲を求めよう。

 まず、真数は正であるから\[ 0\leqq x \lt \myBox{ア} \quad \cdots ② \]である。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。

 $y=\log_{\frac{1}{8}} (3-\sqrt{x})^2$ とおくと、 $\displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^y = (3-\sqrt{x})^2$ である。 $2$ を底とする両辺の対数をとれば\[ y=-\frac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}} \log_2(3-\sqrt{x}) \]であることがわかる。

 よって、 $X=\log_2(3-\sqrt{x})$ とおくと、①は\[ \myBox{エ}X^2 -X-1 \gt 0 \quad \cdots ③ \]と表すことができる。

 不等式③を解くと\[ X\lt -\frac{1}{\myBox{オ}}, \quad X \gt \myBox{カ} \]となり、 $X=\log_2(3-\sqrt{x})$ により\[ 3-\sqrt{x} \lt \frac{\sqrt{\myBox{キ}}}{\myBox{ク}}, \quad 3-\sqrt{x}\gt \myBox{ケ} \quad \cdots ④ \]であることがわかる。②と④から、不等式①を満たす x のとり得る値の範囲は\[ 0\leqq x \lt \myBox{コ}, \ \frac{\myBox{サシ}}{\myBox{ス}}-\myBox{セ}\sqrt{\mybox{キ}} \lt x \lt \mybox{ア} \]である。

考え方

いきなりよくわからない不等式から始まりますが、その後の誘導は丁寧です。言われた通りに変形したり文字で置き換えたりすることで、与えられた不等式が解けるようになります。対数の計算がきちんとできるようになっていないと解けませんが、計算の量自体は少ないです。最後は数直線を使って考えたほうが分かりやすいでしょう。