なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$次の表は、あるクラスの生徒9人に対して行われた英語と数学のテスト(各20点満点)の得点をまとめたものである。ただし、テストの得点は整数値である。また、表の数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。

 英語   数学 
生徒1 9 15
生徒2 20 20
生徒3 18 14
生徒4 18 17
生徒5 $\mathsf{A}$ 8
生徒6 18 $\mathsf{C}$
生徒7 14 $\mathsf{D}$
生徒8 15 14
生徒9 18 15
平均値 16.0 15.0
分散 $\mathsf{B}$ 10.00
相関係数 0.500

 以下、小数の形で解答する場合、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入し、解答せよ。途中で割り切れた場合、指定された桁まで 0 をマークすること。

(1) 生徒5の英語の得点 $\mathsf{A}$ は $\myBox{アイ}$ 点であり、9人の英語の得点の分散 $\mathsf{B}$ の値は $\myBox{ウエ}.\myBox{オカ}$ である。また、9人の数学の得点の平均値が 15.0 点であることと、英語と数学の得点の相関係数の値が 0.500 であることから、生徒6の数学の得点 $\mathsf{C}$ と生徒7の数学の得点 $\mathsf{D}$ の関係式
\begin{eqnarray}
& & \mathsf{C}+\mathsf{D}=\myBox{キク} \\
& & \mathsf{C}-\mathsf{D}=\myBox{ケ}
\end{eqnarray}が得られる。したがって、 $\mathsf{C}$ は $\myBox{コサ}$ 点、$\mathsf{D}$ は $\myBox{シス}$ 点である。

(2) 9人の英語と数学の得点の相関図(散布図)として適切なものは $\myBox{セ}$ である。 $\myBox{セ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。
center-2b-2014-5-00
center-2b-2014-5-01
center-2b-2014-5-02
center-2b-2014-5-03

(3) 生徒10が転入したので、その生徒に対して同じテストを行った。次の表は、はじめの9人の生徒に生徒10を加えた10人の得点をまとめたものである。ただし、表の数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。

 英語   数学 
生徒1 9 15
生徒2 20 20
生徒3 18 14
生徒4 18 17
生徒5 $\mathsf{A}$ 8
生徒6 18 $\mathsf{C}$
生徒7 14 $\mathsf{D}$
生徒8 15 14
生徒9 18 15
生徒10 6 $\mathsf{F}$
平均値 $\mathsf{E}$ 14.0
分散 18.00 18.00
相関係数 0.750

 10人の英語の得点の平均値 $\mathsf{E}$ は $\myBox{ソタ}.\myBox{チ}$ 点であり、生徒10の数学の得点 $\mathsf{F}$ は $\myBox{ツ}$ 点である。

(4) 生徒10が転入した後で1人の生徒が転出した。残った9人の生徒について、英語の得点の平均値は10人の平均値と同じ $\mybox{ソタ}.\mybox{チ}$ 点、数学の得点の平均値は10人の平均値と同じ 14.0点であった。転出したのは生徒 $\myBox{テ}$ である。また、英語について、10人の得点の分散の値を v, 残った9人の得点の分散の値を $v’$ とすると\[ \frac{v’}{v} = \myBox{ト} \]が成り立つ。さらに、10人についての英語と数学の得点の相関係数の値を r, 残った9人についての英語と数学の得点の相関係数の値を $r’$ とすると\[ \frac{r’}{r} = \myBox{ナ} \]が成り立つ。 $\myBox{ト}$, $\myBox{ナ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $-1$, 1: $1$, 2: $\dfrac{9}{10}$, 3: $\left(-\dfrac{9}{10}\right)^2$, 4: $\dfrac{10}{9}$, 5: $\left(\dfrac{10}{9}\right)^2$

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考え方

(1)で細かな計算をさせられます。定義通りに計算するだけですが、ここを間違うと後に響いてくるので、計算の見直しをよくしましょう。

(2)は(1)が正しく計算できないとできません。消去法で求めましょう。

(3)は(1)が正しく出せなくても出すことはできます。和を計算しなくても、9人の平均値から9人の和を求めることができます。無駄な計算はしないようにしましょう。

(4)は、平均・分散・相関係数の求め方をよく理解しておかないと、解くことは難しいです。値が抜けることで、計算式のどの部分が変化するのかよく考えて解くようにしましょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: データの分析
トピック: データの分析
レベル: ややむずい
キーワード: 平均, 標準偏差, 相関係数, 分散, 共分散, 散布図
更新日:2017/01/24