センター試験 数学II・数学B 2014年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$自然数 m, n に対して、不等式\[ \log_2 m^3+\log_3n^2\leqq 3 \quad \cdots ④ \]を考える。

 $m=2$, $n=1$ のとき、 $\log_2 m^3+\log_3n^2=\myBox{ソ}$ であり、この m, n の値の組は④を満たす。
 $m=4$, $n=3$ のとき、 $\log_2 m^3+\log_3n^2=\myBox{タ}$ であり、この m, n の値の組は④を満たさない。

 不等式④を満たす自然数 $m,n$ の組の個数を調べよう。④は\[ \log_2m+\frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}\log_3 n \leqq \myBox{テ} \quad \cdots ⑤ \]と変形できる。
 n が自然数のとき、 $\log_3 n$ のとり得る最小の値は $\myBox{ト}$ であるから、⑤により、 $\log_2 m\leqq \mybox{テ}$でなければならない。 $\log_2 m\leqq \mybox{テ}$ により、 $m=\myBox{ナ}$ または $m=\myBox{ニ}$ でなければならない。ただし、 $\mybox{ナ}\lt\mybox{ニ}$ とする。

 $m=\mybox{ナ}$ の場合、⑤は $\displaystyle \log_3 n\leqq \frac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ となり、 $n^2\leqq \myBox{ノハ}$ と変形できる。よって、 $m=\mybox{ナ}$ のとき、⑤を満たす自然数 n のとり得る値の範囲は $n\leqq\myBox{ヒ}$ である。したがって、 $m=\mybox{ナ}$ の場合、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\mybox{ヒ}$ である。
 同様にして、 $m=\mybox{ニ}$ の場合、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\myBox{フ}$ である。
 以上のことから、④を満たす自然数 m, n の組の個数は $\myBox{ヘ}$ である。

考え方

対数不等式を満たす自然数の組を求める、という少し見慣れない問題です。しかし、誘導が丁寧で、複雑な計算もありません。基本的な $\log$ の計算がわかっていれば、最後まで行けるはずです。