センター試験 数学II・数学B 2006年度 第7問 解説

問題編

【問題】
 複素数$z=x+yi$は$y\gt 0$を満たすとする。複素数平面上でzを表す点をP、0を表す点をO、1を表す点をAとする。点Bは直線OAに関してPと同じ側にあり、$\triangle \mathrm{ OAB }$は正三角形であるとする。点Qは直線OPに関してAと反対側にあり、$\triangle \mathrm{ OPQ }$は正三角形であるとする。また、点Rは直線APに関してOと反対側にあり、$\triangle \mathrm{ PAR }$は正三角形であるとする。点Q,Rが表す複素数をそれぞれ$z_1,z_2$とする。

(1) 点Bが表す複素数$\beta$は\[ \beta=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]である、点Qは、POのまわりに$[エオ]^{\circ}$だけ回転した点であるから$z_1=[カ]$である。[カ]に当てはまるものを、次の0~5のうちから一つ選べ。

 0: $\beta z$、 1: $\displaystyle \frac{z}{\beta}$、 2: $-\beta z$、 
 3: $\displaystyle -\frac{z}{\beta}$、 4: $z+\beta$、 5: $\displaystyle z+\frac{1}{\beta}$

 点Rは、APのまわりに$[エオ]^{\circ}$だけ回転した点であるから、$z_2=[キ]$である。[キ]に当てはまるものを、次の0~5のうちから一つ選べ。

 0: $z+\beta (1-z)$、 1: $\beta(1-z)$、 2: $1+\beta(1-z)$、 
 3: $\displaystyle z+\frac{1-z}{\beta}$、 4: $\displaystyle \frac{1-z}{\beta}$、 5: $\displaystyle 1+\frac{1-z}{\beta}$

 したがって、$\displaystyle w=\frac{z_1-\beta}{z_2-\beta}$とおくと\[ w=\frac{[クケ]+\sqrt{[コ]}i}{[サ]} \cdot \frac{z-1}{z} \]である。

(2) BQBRが垂直に交わるのはwが純虚数のときであり、このとき、点Pはつねに$\displaystyle \frac{[シ]-\sqrt{[ス]}i}{[セ]}$を表す点を中心とする半径[ソ]の円周上にある。

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【考え方】
正三角形を「60度の回転」で表現する方法は、複素数の分野では基本です。図形的な意味をマスターしておく必要があります。

前半はほとんど計算が出てきませんが、最後の問題は難しめですが、複素数の分野では基本的な変形です。