なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2006年度 第2問 解説

問題編

【問題】
aを正の実数として、$C_1,C_2$をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
\begin{eqnarray}
& & C_1: y=x^2 \\
& & C_2: y=x^2 -4ax+4a(a+1)
\end{eqnarray}また、$C_1$と$C_2$の両方に接する直線をlとする。

(1) 点$(t,t^2)$における$C_1$の接線の方程式は\[ y=[ア]tx-t^{[イ]} \]であり、この直線が$C_2$に接するのは$t=[ウ]$のときである。

したがって、直線lの方程式は\[ y=[エ]x-[オ] \]であり、lと$C_2$の接点の座標は\[ ([カキ]+[ク],[ケコ]+[サ]) \]である。

(2) $C_1$と$C_2$の交点をPとすると、Pの座標は\[ (a+[シ],(a+[シ])^2) \]である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は\[ y=[ス]x+a^{[セ]}-[ソ] \]である。直線my軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲は$a\gt [タ]$である。

 $a\gt [タ]$のとき、$C_1$の$x\geqq 0$の部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Saを用いて\[ S = \frac{[チ]}{[ツ]} ([テ]+1)^{[ト]}([ナニ]-1) \]と表される。

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【考え方】
(1)は、$C_1$の接線が$C_2$にも接する、と考えて解いていきます。

(2)の最後は、積分区間を求めて積分をします。$a$が入っていて計算しにくいですが、共通項でくくりながら計算すると、少しだけ計算量がへります。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2006年度
分野: 微分と積分の基礎
トピック: 微分(文系), 積分(文系)
レベル: ふつう
キーワード: 面積, 放物線, 接線
更新日:2016/11/15