センター試験 数学I・数学A 2018年度 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を正の実数とし、\[ f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21 \]とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の x 座標を p とおくと\[
p=\myBox{サ}+\frac{\myBox{シ}}{a} \]である。

 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるような a の範囲は\[ 0\lt a \leqq \myBox{ス} \]である。

 また、 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような a の範囲は\[ \myBox{セ}\leqq a \]である。

 したがって、 $0\leqq x \leqq 4$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $1$ であるのは\[ a=\frac{\myBox{ソ}}{\myBox{タ}} \ または \ a=\frac{\myBox{チ}+\sqrt{\myBox{ツテ}}}{\myBox{ト}} \]のときである。

考え方

頂点を求めるときに少し計算が面倒ですが、前半部分だけなら頂点の y 座標は計算しなくても構いません。

係数に文字が入っていて、文字に応じて最小値をとる場所が変わる、という問題です。よく出題される内容です。文字に応じて状況がどう変わるか、最小値をとる場所がどう変わるかを考えながら解いていきましょう。