センター試験 数学I・数学A 2017年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=3$, $\mathrm{ BC }=8$, $\mathrm{ AC }=7$ とする。

(1) 辺 AC 上に点 D を $\mathrm{ AD }=3$ となるようにとり、 $\triangle \mathrm{ ABD }$ の外接円と直線 BC の交点で B と異なるものを E とする。このとき、 $\mathrm{ BC }\cdot \mathrm{ CE }=\myBox{アイ}$ であるから、 $\displaystyle \mathrm{ CE }=\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。

 直線 AB と直線 DE の交点を F とするとき、 $\displaystyle \frac{\mathrm{ BF }}{\mathrm{ AF }} = \frac{\myBox{オカ}}{\myBox{キ}}$ であるから、 $\displaystyle \mathrm{ AF }=\frac{\myBox{クケ}}{\myBox{コ}}$ である。

(2) $\angle \mathrm{ ABC }=\myBox{サシ}^{\circ}$ である。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内接円の半径は $\displaystyle \frac{\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セ}}}{\myBox{ソ}}$ であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内心を I とすると $\displaystyle \mathrm{ BI }=\frac{\myBox{タ}\sqrt{\myBox{チ}}}{\myBox{ツ}}$ である。

考え方

図形をきちんとかいて、方べきの定理やメネラウスの定理を使うようにしましょう。

(2)は余弦定理を使うこともできますし、使わなくても解くことができます。内接円の半径を求めるときは、三角形の面積を考えると解きやすくなります。一番最後は、角度をうまく使うとほとんど計算せずに解けます。