センター試験 数学I・数学A 2017年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(1) $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$百の位の数が 3、十の位の数が 7、一の位の数が a である3桁の自然数を $37a$ と表記する。
 $37a$ が 4で割り切れるのは\[ a=\myBox{ア}, \myBox{イ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。

(2) 千の位の数が 7、百の位の数が b、十の位の数が 5、一の位の数が c である4桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
 $7b5c$ が 4でも 9でも割り切れる b, c の組は、全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち、 $7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで、$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。
 また、$7b5c=(6\times n)^2$ となる b, c と自然数 n は\[ b=\myBox{ク},\ c=\myBox{ケ},\ n=\myBox{コサ} \]である。

(3) 1188 の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。
 これらのうち、2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個、4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
 1188のすべての正の約数の積を2進数で表すと、末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。

考え方

4の倍数、9の倍数の見分け方を知っていても、こういう形で出題されると戸惑ってしまうかもしれません。ただ、組合せはかなり限定されるので、いろいろ代入して推測するのも手かもしれません。特に、(2)の後半は、組合せが少ないので、すべてチェックするほうが早いでしょう。

(3)の最後は、「2で割ったときに、何回割れるか」を考えましょう。なぜ割れる回数を考えるかは、10進法の場合に「0が続く個数と10で割れる回数が同じである」ことからわかるでしょう。