センター試験 数学I・数学A 2017年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$x は正の実数で、 $\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}=9$ を満たすとする。このとき\[ \left( x+\frac{2}{x} \right)^2 = \myBox{アイ} \]であるから、 $\displaystyle x+\frac{2}{x}=\sqrt{\mybox{アイ}}$ である。さらに
\begin{eqnarray}
x^3 +\frac{8}{x^3}
&=&
\left( x+\frac{2}{x} \right)\left( x^2+\frac{4}{x^2}-\myBox{ウ} \right) \\[5pt] &=&
\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ}}
\end{eqnarray}である。また\[ x^4+\frac{16}{x^4}=\myBox{キク} \]である。

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考え方

x と $\displaystyle \frac{2}{x}$ を掛けると文字が消えることを利用して解いていきます。一番最後はノーヒントですが、一番初めと同じように2乗を使って解くことができます。