センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第1問 [1] 解説

解答編

問題

 実数 x について
 命題 A: 「$x^2 \gt 2$ または $x^3\gt 0$」ならば「$x\gt 2$」
を考える。

(1) 次の [ア] ~ [エ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 命題 A の逆、対偶を考えると次のようになる。
 逆:「[ア]」ならば「[イ]」
 対偶:「[ウ]」ならば「[エ]」

 0: $x^2 \gt 2$ または $x^3\gt 0$
 1: $x^2 \gt 2$ かつ $x^3\gt 0$
 2: $x^2 \leqq 2$ または $x^3\leqq 0$
 3: $x^2 \leqq 2$ かつ $x^3\leqq 0$
 4: $x\gt 2$
 5: $x\leqq 2$

解説

は、「ならば」の前後を入れ替えたものなので、
 「$x\gt 2$」ならば「$x^2 \gt 2$ または $x^3\gt 0$」
となります。

対偶は、「ならば」の前後を入れ替えて、それぞれを否定したものです。「$x\gt 2$」の否定は「$x\leqq 2$」であり、「$x^2 \gt 2$ または $x^3\gt 0$」の否定は「$x^2 \leqq 2$ かつ $x^3\leqq 0$」となります。よって、対偶は
 「$x\leqq 2$」ならば「$x^2 \leqq 2$ かつ $x^3\leqq 0$」
となります。

解答

アイ:40
ウエ:53

参考

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解答編 つづき

問題

(2) 次の [オ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 6 のうちから一つ選べ。

 命題 A とその逆、対偶のうち、[オ] が真である。

 0: 命題 A のみ
 1: 命題 A の逆のみ
 2: 命題 A の対偶のみ
 3: 命題 A とその対偶の二つのみ
 4: 命題 A とその逆の二つのみ
 5: 命題 A の逆と命題 A の対偶の二つのみ
 6: 三つすべて

解説

命題 A を考えてみます。 $x=1$ の場合、 $x^3\gt 0$ を満たすのに、 $x\gt 2$ は満たしません。よって、これは偽であることがわかります。

また、元の命題と対偶の真偽は一致するので、対偶も偽です。

逆を考えてみましょう。 $x\gt 2$ ならば、 $x^2\gt 4$ なので $x^2\gt 2$ を満たします。よって、真です。

解答

オ:1

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解答編 つづき

問題

(3) 次の [カ] に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 実数 x についての条件「$x^2\gt 2$ または $x^3\gt 0$」は、「$x\gt 2$」であるための [カ]。

 0: 必要条件であるが、十分条件ではない
 1: 十分条件であるが、必要条件ではない
 2: 必要十分条件である
 3: 必要条件でも十分条件でもない

解説

(2)で見た内容から、

 「$x^2\gt 2$ または $x^3\gt 0$」 $\Leftarrow$ 「$x\gt 2$」

が成り立つので、必要条件であるが、十分条件ではないことがわかります。

解答

カ:0

参考