センター試験 数学I・数学A 2016年度 第5問 解説

問題編

【問題】
四角形ABCDにおいて、$\mathrm{AB}=4、\mathrm{BC}=2、\mathrm{DA}=\mathrm{DC}$であり、4つの頂点A、B、C、Dは同一円周上にある。対角線ACと対角線BDの交点をE、線分ADを2:3の比に内分する点をF、直線FEと直線DCの交点をGとする。
center-1a-2016-5-01

参考図

次の[ア]には、下の0~4のうちから当てはまるものを一つ選べ。

$\angle\mathrm{ABC}$の大きさが変化するとき四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注意すると、$\angle\mathrm{ABC}$の大きさがいくらであっても、$\angle\mathrm{DAC}$と大きさが等しい角は、$\angle\mathrm{DCA}$と$\angle\mathrm{DBC}$と[ア]である。

0: $\angle\mathrm{ABD}$、1: $\angle\mathrm{ACB}$、2: $\angle\mathrm{ADB}$、3: $\angle\mathrm{BCG}$、4: $\angle\mathrm{BEG}$

このことより$\displaystyle \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である。次に、$\triangle\mathrm{ACD}$と直線FEに着目すると、$\displaystyle \frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\frac{[エ]}{[オ]}$である。

(1)
直線ABが点Gを通る場合について考える。

このとき、$\triangle \mathrm{AGD}$の辺AG上に点Bがあるので、BG=[カ]である。

また、直線ABと直線DCが点Gで交わり、4点A、B、C、Dは同一円周上にあるので、$\mathrm{DC}=[キ]\sqrt{[ク]}$である。

(2)
四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。

このとき、四角形ABCDの外接円の直径は[ケ]であり、$\angle \mathrm{BAC}=[コサ]^{\circ}$である。

また、直線FEと直線ABの交点をHとするとき、$\displaystyle \frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\frac{[エ]}{[オ]}$の関係に着目してAHを求めると、AH=[シ]である。

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【考え方】
参考図が描かれていますが、これは本当にただの参考図で、(1)も(2)も図を描きなおさないといけません。特に(2)は図を描くのが少し大変です。ごちゃっとしてしまいがちです。

どの状況でどの定理を用いるかをきちんと判断していかないと進めないので、少し難易度が高い問題です。チェバの定理やメネラウスの定理といった基本的な定理を使いこなす必要があります。