センター試験 数学I・数学A 2016年度 第2問 [1] 解説

問題編

問題

 $\triangle$ABC の辺の長さと角の大きさを測ったところ、 AB=$7\sqrt{3}$ および $\angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$ であった。したがって、 $\triangle$ABC の外接円 O の半径は[ア]である。

 外接円 O の、点 C を含む弧 AB 上で点 P を動かす。

(1) 2PA=3PB となるのは $\mathrm{PA}=[イ]\sqrt{[ウエ]}$ のときである。

(2) $\triangle$PAB の面積が最大となるのは $\mathrm{PA}=[オ]\sqrt{[カ]}$ のときである。

(3) $\sin \angle \mathrm{PBA}$ の値が最大となるのは PA=[キク] のときであり、このとき $\triangle \mathrm{PAB}$ の面積は $\displaystyle \frac{[ケコ]\sqrt{[サ]}}{[シ]}$ である。

考え方

(1)(2)(3)でそれぞれ状況が違うので、図を描き分けないといけません。

一見大変そうですが、角度の一つが60度であることを使えば、いろいろと計算を省略できます。