センター試験 数学I・数学A 2016年度 第1問 [1] 解説

問題編

問題

a を実数とする。 x の関数
\[
f(x) = (1+2a)(1-x) + (2-a)x
\]を考える。
\[
f(x) = (-[ア]a+[イ])x +2a +1
\]である。

(1)
$0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の最小値は、
$\displaystyle a \leqq \frac{[イ]}{[ア]}$ のとき、 $[ウ]a+[エ]$ であり、 $\displaystyle a \gt \frac{[イ]}{[ア]}$ のとき、 $[オ]a+[カ]$ である。

(2)
$0 \leqq x \leqq 1$ において、常に $\displaystyle f(x) \geqq \frac{2(a+2)}{3}$ となる a の値の範囲は、
$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq a \leqq \frac{[ケ]}{[コ]}$ である。

考え方

珍しく一次不等式の問題です。(1)は傾きの正負に応じて最小値をとる箇所が違うことに注意します。

(2)は(1)で求めたことを利用して、「 $f(x)$ が右辺以上」を「 $f(x)$ の最小値が右辺以上」と言い換えて解いていきます。