センター試験 数学I・数学A 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて、図のような掲示板を作り、壁に固定する。赤色、緑色、青色のペンキを用いて、隣り合う正方形同士が異なる色となるように、この掲示板を塗り分ける。ただし、塗り分ける際には、3色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく、2色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする。
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(1) このような塗り方は、全部で[アイ]通りある。

(2) 塗り方が左右対称となるのは、[ウエ]通りある。

(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分けるのは、[オ]通りある。

(4) 赤色に塗られる正方形が3枚であるのは、[カ]通りある。

(5) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。
・どちらかの端の1枚が赤色に塗られるのは、[キ]通りある。
・端以外の1枚が赤色に塗られるのは、[クケ]通りある。
よって、赤色に塗られる正方形が1枚であるのは、[コサ]通りある。

(6) 赤色に塗られる正方形が2枚であるのは、[シス]通りある。

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【考え方】
問題によって、どのように塗り方を決めていくかを変えて考えていかなければいけません。

(1)は、左端から塗っていく、と考えます。(2)も、同じように考えます。

(3)のように2色で塗る場合は、「ABABA」のようになります。つまり、左端の色が決まればそれ以外の板の色は決まってしまうことに注目します。

(4)のように、同じ色が3枚の場合は、両端と真ん中が同じになるしかありません。(5)は、赤がどこかに応じて、数えていきます。赤の場所を決めて、その隣が何色かを考えていきます。

(6)は、今までの結果から求めることができます。赤が0枚のときが(3)、1枚のときが(5)、3枚のときが(4)で、塗り方の総数が(1)です。よって、引き算をすれば、2枚のときが出てきます。直接求めるには場合分けが多くなりすぎるので、やめたほうがいいです。