なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2015年度 第2問 [1] 解説

問題編

【問題】
条件$p_1$、$p_2$、$q_1$、$q_2$の否定をそれぞれ$\overline{ p_1 }$、$\overline{ p_2 }$、$\overline{ q_1 }$、$\overline{ q_2 }$と書く。

(1) 次の[ア]に当てはまるものを、下の0~3のうちから一つ選べ。

 命題「($p_1$ かつ $p_2$) $\Longrightarrow$ ($q_1$ かつ $q_2$)」の対偶は[ア]である。

0: ($\overline{ p_1 }$ または $\overline{ p_2 }$) $\Longrightarrow$ ($\overline{ q_1 }$ または $\overline{ q_2 }$)
1: ($\overline{ q_1 }$ または $\overline{ q_2 }$) $\Longrightarrow$ ($\overline{ p_1 }$ または $\overline{ p_2 }$)
2: ($\overline{ q_1 }$ かつ $\overline{ q_2 }$) $\Longrightarrow$ ($\overline{ p_1 }$ かつ $\overline{ p_2 }$)
3: ($\overline{ p_1 }$ かつ $\overline{ p_2 }$) $\Longrightarrow$ ($\overline{ q_1 }$ かつ $\overline{ q_2 }$)

(2) 自然数nに対する条件$p_1$、$p_2$、$q_1$、$q_2$を次のように定める。

 $p_1$:nは素数である
 $p_2$:$n+2$は素数である
 $q_1$:$n+1$は5の倍数である
 $q_2$:$n+1$は6の倍数である

30以下の自然数nのなかで[イ]と[ウエ]は
 命題「($p_1$ かつ $p_2$) $\Longrightarrow$ ($\overline{ q_1 }$ かつ $q_2$)」
の反例となる。

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【考え方】
(1)は、対偶の定義と「かつ」の否定に関する問題です。「AならばB」の待遇が「BでないならばAでない」ということ、そして、「AかつB」の否定が「Aでない、または、Bでない」であることを利用して答えを選びます。

(2)は、30以下の自然数だけが対象なので、具体的に書き出してみます。条件を満たすのに結論を満たさないものが答えです。一つ一つチェックしていきましょう。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2015年度
分野: 数と式, 整数の性質
トピック: 集合と命題, 整数
レベル: ふつう
キーワード: 反例, 対偶, 否定
更新日:2016/11/15