センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第3問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ を $\mathrm{ AB }=8$, $\mathrm{ BC }=12$, $\mathrm{ CA }=10$ を満たす三角形とする。辺 AB の中点を D 、辺 BC の中点を E とする。このとき、 $\displaystyle \sin \angle \mathrm{ DBE } =\frac{\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}}}{\myBox{ウエ}}$ 、 $\triangle \mathrm{ DBE }$ の面積は $\displaystyle \frac{\myBox{オカ}\sqrt{\myBox{キ}}}{\myBox{ク}}$ である。 $\triangle \mathrm{ DBE }$ の内心を I とする。

(1) 内接円 I の半径は $\displaystyle \frac{\sqrt{\myBox{ケ}}}{\myBox{コ}}$ である。円 I と辺 BE の接点を L とすると、 $\displaystyle \mathrm{ BL }=\frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ であるので、 $\mathrm{ BI }=\myBox{ス}\sqrt{\myBox{セ}}$ である。

 三つの線分 AD, CE, DE すべてに接する円の中心を J とする。円 J と線分 CE との接点を X 、 線分 DE との接点を Y 、線分 AD との接点を Z とする。

(2) 直線 BX, BZ はともに点 B から円 J に引いた接線であるので、 $\mathrm{ BX }=\mathrm{ BZ }$ である。これより $\displaystyle \mathrm{ EX }=\frac{\myBox{ソ}}{\myBox{タ}}$ である。 $\displaystyle \angle \mathrm{ JBE }=\frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}\angle \mathrm{ DBE }$ 、 $\displaystyle \angle \mathrm{ IBE }=\frac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}\angle \mathrm{ DBE }$ より $\mathrm{ BJ } = \myBox{ナ} \sqrt{\myBox{ニ}}$ である。

(3) $\angle \mathrm{ DBE }$ を含む平面と垂直で、直線 BJ を含む平面を考え、この平面内にある円で、線分 BJ を直径とするものを O とする。この円 O の円周上に点 K を、 BJKI が直交するようにとると、 $\mathrm{ KI }=\myBox{ヌ}$ となるので、三角錐 KBDE の体積は $\myBox{ネ}\sqrt{\myBox{ノ}}$ となる。

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考え方

(1)より前の部分は、まず $\cos$ から考えましょう。(1)は三角形の面積とからめて半径を求めます。また、 BL は長さを2通りに表して方程式を作りましょう。

(2)は少し図が描きづらいです。 EX はさきほどの BL を求めたときと同様に、長さを2通りに表して方程式を作ります。

(3)は突然三次元の話になりますが、そんなに複雑ではありません。円 O を含む平面で切って考えれば、 KI を求めることはそれほど難しくありません。これが高さとなり、底面積はすでに求めてあるので、体積もすぐに出せます。

三角比に関する問題は(1)までで、その後はほぼ図形の問題です。