なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2014年度 第1問 [2] 解説

問題編

問題

 集合 U を $U=\{n\mid n$ は $5\lt\sqrt{n}\lt6$ を満たす自然数 $\}$ で定め、また、 U の部分集合 P, Q, R, S を次のように定める。
 $P=\{n \mid n\in U$ かつ n は $4$ の倍数 $\}$
 $Q=\{n \mid n\in U$ かつ n は $5$ の倍数 $\}$
 $R=\{n \mid n\in U$ かつ n は $6$ の倍数 $\}$
 $S=\{n \mid n\in U$ かつ n は $7$ の倍数 $\}$

 全体集合を U とする。集合 P の補集合を $\overline{P}$ で表し、同様に $Q,R,S$ の補集合をそれぞれ $\overline{Q},\overline{R},\overline{S}$ で表す。

(1) U の要素の個数は[タチ]個である。

(2) 次の 0 ~ 4 で与えられた集合のうち、空集合であるものは[ツ]、[テ]である。
 [ツ]、[テ]に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つずつ選べ。ただし、[ツ]、[テ]の解答の順序は問わない。
 0: $P\cap R$
 1: $P\cap S$
 2: $Q\cap R$
 3: $P\cap \overline{Q}$
 4: $R\cap \overline{Q}$

(3) 集合 X が集合 Y の部分集合であるとき、 $X\subset Y$ と表す。このとき、次の 0 ~ 4 のうち、部分集合の関係について成り立つものは[ト]、[ナ]である。
 [ト]、[ナ]に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つずつ選べ。ただし、[ト]、[ナ]の解答の順序は問わない。
 0: $P\cup R \subset \overline{Q}$
 1: $S\cap \overline{Q} \subset P$
 2: $\overline{Q}\cap \overline{S} \subset \overline{P}$
 3: $\overline{P}\cup \overline{Q} \subset \overline{S}$
 4: $\overline{R}\cap \overline{S} \subset \overline{Q}$

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考え方

これは、面倒ですが、要素を書き出して考えるしかありません。といっても、個数は少ないのでそんなに大変な作業ではないです。

(3)の後半は、ド・モルガンの法則を使って考えたほうがいいでしょう。

各選択肢の要素を1つ1つチェックしていかないといけないので、間違えずに慎重に解いていきましょう。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2014年度
分野: 集合と命題
トピック: 集合と命題
レベル: ふつう
キーワード: 否定, 集合
更新日:2016/11/22