なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2006年度 第3問 解説

問題編

【問題】
 下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、\[ \mathrm{ AE }=\sqrt{10}, \mathrm{ AF }=8, \mathrm{ AH }=10 \]とする。

 このとき、$\mathrm{ FH }=[アイ]$であり、$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ FAH }=\frac{[ウ]}{[エ]}$である。また、三角形AFHの面積は$[オカ]\sqrt{[キ]}$である。
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 次に、$\angle\mathrm{ AFH }$の二等分線と辺AHの交点をP、$\angle\mathrm{ FAH }$に二等分線と辺FHの交点をQ、線分FPと線分AQの交点をRとする。このとき、Rは三角形AFHの[ク]である。次の0~2のうちから[ク]に当てはまるものを一つ選べ。

 0: 重心、 1: 外心、 2: 内心
 (補足説明:三角形において、その外接円の中心を外心、その内接円の中心を内心という。)

 また、$\mathrm{ AP }=[ケ]$であり、したがって、\[ \mathrm{ PF }:\mathrm{ PR } = [コ]:1 \]となる。さらに、四面体EAPRの体積は$[サ]\sqrt{[シ]}$である。

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【考え方】
見た感じ「うっ」となってしまいそうな直方体の図ですが、ほとんどは三角形の問題です。落ち着いて解いていきましょう。

前半は、三平方の定理、余弦定理、$\sin$と$\cos$の関係を使って解いていきます。

後半は図が見にくいですが、三角形AFHを抜き出してくれば、考えやすくなるかもしれません。最後の四面体の体積は、直接求めるのは大変です。体積を求めやすい四面体があるので、それを使って比で求めていくと解きやすいです。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2006年度
分野: 図形と計量
トピック: 三角比, 空間図形
レベル: ややむずい
キーワード: 三角形の面積, 体積, 四面体, 三平方の定理, 三角比, 余弦定理
更新日:2016/11/15