センター試験 数学I・数学A 2006年度 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 2次方程式 $x^2-3x-1=0$ の解が $\alpha,\beta$ で、 $\alpha\gt\beta$ とするとき、\[ \alpha=\frac{[ア]+\sqrt{[イウ]}}{2}, \quad \beta=\frac{[ア]-\sqrt{[イウ]}}{2} \]である。また、
 $m\lt\alpha\lt m+1$ を満たす整数 m の値は $m=[エ]$
 $n\lt\beta\lt n+1$ を満たす整数 n の値は $n=[オカ]$
である。

 次に、\[ \alpha + \frac{1}{\alpha}=\sqrt{[キク]} \]であり、\[ \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}=[ケコ]\sqrt{[サシ]} \]である。

【広告】

考え方

1つ目は解の公式を使うだけですね。次は無理数の整数部分を求める問題です。$\alpha$ の整数部分をいきなり求めるのは難しいので、ルートの部分がどうなっているかをまず考え、分子全体ではどうか、分数全体ではどうか、と考えていくと解けます。

後半は、1つ目は有理化ですね。2つ目はそのまま3乗してはいけません。1つ目の結果をうまく使えば、複雑な計算をすることなく、答えが求まります。